设f（x，y）在x24+y2≤1具有连续的二阶偏导数，L是椭圆周x24+y2=1的顺时针方向，则∮L[3y+fx（x，y）]dx+fy（x，y）dy的值等于．

Question

设f（x，y）在 (x2)/(4)+y²≤1具有连续的二阶偏导数，L是椭圆周(x2)/(4)+y²=1的顺时针方向，则

∮

L

[3y+f_x（x，y）]dx+f_y（x，y）dy的值等于______．

Answer 1

由于

∮

L

[3y+f_x（x，y）]dx+f_y（x，y）dy的P=3y+f_x（x，y），Q=f_y（x，y）
∴Q_x-P_y=f_yx（x，y）-f_xy（x，y）-3
而f（x，y）在 (x2)/(4)+y²≤1具有连续的二阶偏导数，
∴f_yx=f_xy
∴Q_x-P_y=-3
设L所围成的区域为D，则由格林公式，得

∮

L

[3y+f_x（x，y）]dx+f_y（x，y）dy
=−

∫∫

D

(−3)dxdy＝3•π•2•1＝6π