平面内有n个两两相交的圆,并且任意三个圆不经过同一点,问这n个圆把平面分成多少个区域

Question

平面内有n个两两相交的圆,并且任意三个圆不经过同一点,问这n个圆把平面分成多少个区域

Answer 1

第1个圆：把平面分成2部分.
第2个圆,与第1个圆有2个交点,这2个交点把第2个圆分为2个圆弧段,这2个圆弧段分别把原来的2个部分又各分成2部分.一共添加了2个部分,是：2+2=4部分.
第3个圆,与前2个圆共有2*2=4个交点,这4个交点把第3个圆分为4个圆弧段,这4个圆弧段分别把原来的4个部分有个分成2个部分.一共添加了4个部分,是：4+2*2=8部分.
……
这么推下去,第k个圆,与前面k-1个圆有2(k-1)个交点,添加2(k-1)个部分.
所以,用S(k)表示k个圆分成的部分数：
S(k) = S(k-1) + 2(k-1)
S(1) = 2
解得 S(n) = 2+n(n-1)