已知圆C的方程为：x2+y2-4mx-2y+8m-7=0，（m∈R）．（Ⅰ）试求m的值，使圆C的面积最小；（Ⅱ）求与满足（1）中条件的圆C相切，且过点（4，-3）的直线方程．

Question

已知圆C的方程为：x²+y²-4mx-2y+8m-7=0，（m∈R）．
（Ⅰ）试求m的值，使圆C的面积最小；
（Ⅱ）求与满足（1）中条件的圆C相切，且过点（4，-3）的直线方程．

Answer 1

（Ⅰ）配方得圆的方程为（x-2m）²+（y-1）²=4（m-1）²+4．
当m=1时，圆的半径最小，此时圆的面积最小．…（3分）
（Ⅱ）当m=1时，圆的方程为（x-2）²+（y-1）²=4．
当斜率存在时，设所求直线方程为y+3=k（x-4），即kx-y-4k-3=0．
由直线与圆相切，所以(|2k−1−4k−3|)/(√(k2+1))=2，
解得k=-(3)/(4)．
所以切线方程为y+3=-(3)/(4)（x-4），即3x+4y=0．…（10分）
又过（4，-3）点，且与x轴垂直的直线x=4，也与圆相切．
所以所求直线方程为3x+4y=0及x=4．…（12分）