设y=ex是微分方程xy′+p（x）y=x的一个解，求此微分方程满足条件y|x=ln2=0的特解．

Question

设y=e^x是微分方程xy′+p（x）y=x的一个解，求此微分方程满足条件y|_x=ln2=0的特解．

Answer 1

把 y=e^x 代入原微分方程可得，P（x）=xe^-x-x，
代入可得，原微分方程为
xy′+（xe^-x-x）y=x，
化简可得，
y′+（e^-x-1）y=1．
因为一阶微分方程 y′+P（x）y=Q（x） 的通解公式为
y=e-∫p（x）dx（∫Q（x）e∫p（x）dxdx+C），
故原方程的通解为
y=e−∫(e−x−1)dx(∫e∫(e−x−1)dxdx+C)
=ee−x+x(∫e−e−x−xdx+C)
=ee−x+x(∫e−e−xd(−e−x)+C) 
=e^x+Cee−x+x．
由条件 y|_x=ln2=0 可得，C=−(1)/(2)e−(1)/(2)．
∴所求特解为 y=e^x+ex+e−x−(1)/(2)．