从2-100中取出两个数,把和告诉甲,把积告诉已,甲对已说：我不知道这两个数是什么,但我肯定你也不知道.已说,我现在知道了这两个数.甲说：你知道了,那我也知道了.这两个数是多少啊?

Question

从2-100中取出两个数,把和告诉甲,把积告诉已,甲对已说：我不知道这两个数是什么,但我肯定你也不知道.已说,我现在知道了这两个数.甲说：你知道了,那我也知道了.这两个数是多少啊?

Answer 1

这是一个被改动的题,原题是"一日,鬼谷子在2--100这99个数字中选了2个数字,然后把它们的和告诉了庞涓,把积告诉了孙膑.当然,庞涓不知道积是多少,孙膑不知道和是多少.第二日,庞涓遇见孙膑很傲慢的孙膑并说：“虽然我不知道这两个数是多少但是我肯定你也不知 道.”孙膑立刻还击道：“本来我不知道的,但是现在我知道这两个数是多少了.”庞涓想了一 会,说道：“现在我也知道这两个数是多少了.”
请问,这两个数是什么?
由于庞涓肯定孙膑不知道这两个数,如果这两个数是素数,那么孙膑能够知道,换言之,所有两个素数的和都不是庞涓知道的和.
而2个素数的和,你可以得到以下的数列
5
7,8
9,10,12
13,14,16,18
15,16,18,20,24
19,20,22,24,28,30
.
排除这些数以后,可以得到庞涓所知道的和为
11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,67,71,77,79,83,87,89,93,97,以及100以上所有的单数及174,178,184,188,192,194,196,198
而能够分成3个素数的积的情况下,如果其中一个素数大于50,则孙膑也可以从积中求得这两个数,比如53*2*2=212,只能分成53和4,这样又可以列一个表,排除53以上的素数+另2个素数的积,这样可以排除掉53以上的所有单数（具体自己去算,我已经算过了）以及剩余那几个偶数,也就是说,庞涓知道的和只剩下
11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53（数列A）
而在这几个数分成的两个数所能组成的积中,孙膑要能判断出这两个数是什么,则孙膑所得到的积所能分解的数中,不能有2对的和为数列A中的数.比如孙膑得到的积为30,则2*15=30,2+15=17,5*6=30,5+6=11,无论是2和15还是5和6,庞涓都能有把握说孙膑不知道,这样,孙膑仍然不能判断出是2和15还是5和6.
但是这样去排除那些海量的积显然不是办法,这就需要用到第3个条件,即庞涓根据孙膑的判断也知道了这两个数.即是说,正确答案的和所能分解成的所有数对中,只有一对是孙膑可以判断出来的,其余孙膑都不能判断出来,否则庞涓无法判断出这两个数.比如这个和是11,那么可以分成2-9,3-8,4-7,5-6.积分别是18,24,28,30.30是孙膑判断不出来的（原理已讲过）,但18,24,28孙膑都可以判断出是2-9,3-8,4-7,所以庞涓仍然无法判断这两个数是什么,则庞涓所得到的和肯定不是11.
我们再来看23,可以分成4-19,7-16,而这两个数对孙膑都可以判断出来.推而广之,只要是4+素数,8+素数,16+素数,32+素数孙膑都可以推断出来.那么这个正确答案的和中,不能分解成两对4+素数,8+素数,16+素数,32+素数.
27可以分成4+23和8+19
35可以分成4+31和16+19
37可以分成8+29和32+5
47可以分成4+43和16+31
51可以分成4+47和8+43
那么剩下的积还有17,29,41,53
29可以分成16+13和7+22
41可以分成4+37和7+34
53可以分成16+37和19+34
最后只剩下17,我们来看看17可以分解成的数
2-15,积为30,孙膑无法判断
3-14,积为42,可分成2+21=23和3+14=17,孙膑无法判断
4-13,积为52,2+26=28（不属于数列A）,4+13=17,孙膑可以判断
5-12,积为60,可分成20+3=23和5+12=17,孙膑无法判断
6-11,积为66,可分成2+33=35和6+11=17,孙膑无法判断
7-10,积为70,可分成2+35=37和7+10=17,孙膑无法判断
8-9,积为72,可分成3+24=27和8+9=17,孙膑无法判断
所以,这两个数就是4和13
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