一个矩阵的秩是r则它的像的维数和核的维数是多少

Question

一个矩阵的秩是r则它的像的维数和核的维数是多少

Answer 1

dimR(A)+dimK(A)=A的列数.也就是像的维数加上核的维数应该等于矩阵的列数.跟矩阵的秩没有直接关系.
这个叫做线性变换的维数定理.《矩阵论》上都有的,可以去看看.我在此简单证明一下:
设矩阵为A,它是一个n*s的矩阵,A的秩是r.
(1)像的维数：
A的像的全体就是A的列向量的线性组合.由于A的秩r,所以A的列向量的极大无关组有r个向量.A的像就是由这r个向量张成的空间.所以dimR(A)=r.
(2)核的维数：
核的维数就是Ax=0的解中基础解系的个数,由线性代数可知,dimK(A)=s-r.
(3)由此得维数定理：
dimR(A)+dimK(A)=s