一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好与球的上面相切，将球从圆锥内取出后，求圆锥内的水深．

Question

一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好与球的上面相切，将球从圆锥内取出后，求圆锥内的水深．

Answer 1

如图．在容器内注入水，并放入一个半径为r的铁球，这时水面记为AB，
将球从圆锥内取出后，这时水面记为EF．
三角形PAB为轴截面，是正三角形，
三角形PEF也是正三角形，圆O是正三角形PAB的内切圆．
由题意可知，DO=CO=r，AO=2r=OP，AC＝√(3)r，
∴V球＝(4)/(3)πr3，VPC＝(1)/(3)π(√(3)r)2•3r＝3πr3
又设HP=h，则EH＝(√(3))/(3)h
∴V水＝(1)/(3)π((√(3))/(3)h)2•h＝(π)/(9)h3
∵V_水+V_球=V_PC
即(π)/(9)h3+(4)/(3)πr3=3πr³，
∴h＝

3

15

r
即圆锥内的水深是

3

15

r．