已知数列｛an｝满足a1=1,a（n+1）=nann+1是角标

Question

已知数列｛an｝满足a1=1,a（n+1）=nan n+1是角标

Answer 1

已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=nan
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明:1/a1+1/a2+.+1/an≤3-(1/2)^(n-2).
(1)因为a(n+1)=nan ,即a(n+1)/an=n
所以：
a2/a1=1
a3/a2=2
a4/a3=3
……
an/a(n-1)=n-1
叠乘得：
an/a1=1*2*3*……*(n-1)
a1=1
所以an=(n-1)!
(2)证明：
令bn=1/an=1/(n-1)!,Sn为{bn}前n项和
则Sn=b1+b2+...+bn
=1/a1+1/a2+.+1/an
=1/0!+1/2!+1/(1*2*3)+1/(1*2*3*4)+...+1/[1*2*3*4*...*(n-1)]
≤1/0!+1/2!+1/(2*2)+1/(2*2*2)+...+1/(2*2*2*...*2) 【要用缩放法,分母缩小,分数值变大.最后面那个一共有n-2个2相乘,当n=1或2时取得等号】
=1+1/2+(1/2)²+(1/2)³+...+(1/2)^(n-2) 【0!=1,这个是个等比数列的前n项和】
=3-(1/2)^(n-2).
所以1/a1+1/a2+.+1/an≤3-(1/2)^(n-2).