求函数f（x）=ln（1+x2）的凹凸区间及拐点．

Question

求函数f（x）=ln（1+x²）的凹凸区间及拐点．

Answer 1

由于f（x）在（-∞，+∞）内n阶可导，故可以求出函数二阶导，令其大于或小于0求得凹凸区间，等于0求出拐点．
先求一阶导，y′＝(2x)/(1+x2)，
再求二阶导，y″＝−(2(x+1)(x−1))/((1+x2)2)，
令二阶导数y″＜0，得到凸区间（-∞，-1）或（1，+∞）；
令二阶导数y″≥0，得到凹区间[-1，1]；
令y″=0，得x=-1，x=1，且在这两个点两侧凹凸性发生了变化，
故拐点为（-1，ln2），（1，ln2）．