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已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(x)=2,求f(2009)的值?
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已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(x)=2,求f(2009)的值?
▼优质解答
答案和解析
题目有问题,“若f(x)=2”应该是“若f(1)=2”吧
若是如此,解题如下:
因为f(x)是在R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,所以
f(x)=f(-x)
g(x)=-g(-x)
由题意,及g(x)=f(x-1)可知
f(x)=g(x+1)(设x+1为t,则g(t)=f(t-1)即为g(x+1)=f(x))
=-g(-x-1)(g(x)是R上的奇函数)
=-f(-x-2)(设-x-1为t,则g(t)=f(t-1)即为g(-x-1)=f(-x-2))
=-f(x+2)(f(x)是在R上的偶函数)
所以f(x)=-f(x+2)=f(x+4)
即f(x)是以4为周期的周期函数
所以f(2009)=f(2009-4*502)=f(1)=2
若是如此,解题如下:
因为f(x)是在R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,所以
f(x)=f(-x)
g(x)=-g(-x)
由题意,及g(x)=f(x-1)可知
f(x)=g(x+1)(设x+1为t,则g(t)=f(t-1)即为g(x+1)=f(x))
=-g(-x-1)(g(x)是R上的奇函数)
=-f(-x-2)(设-x-1为t,则g(t)=f(t-1)即为g(-x-1)=f(-x-2))
=-f(x+2)(f(x)是在R上的偶函数)
所以f(x)=-f(x+2)=f(x+4)
即f(x)是以4为周期的周期函数
所以f(2009)=f(2009-4*502)=f(1)=2
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