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已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(x)=2,求f(2009)的值?
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已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(x)=2,求f(2009)的值?
▼优质解答
答案和解析
题目有问题,“若f(x)=2”应该是“若f(1)=2”吧
若是如此,解题如下：
因为f(x)是在R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,所以
f(x)=f(-x)
g(x)=-g(-x)
由题意,及g(x)=f(x-1)可知
f（x）=g(x+1)（设x+1为t,则g(t)=f(t-1)即为g(x+1)=f（x））
=-g(-x-1)（g(x)是R上的奇函数）
=-f(-x-2）（设-x-1为t,则g(t)=f(t-1)即为g(-x-1)=f（-x-2））
=-f(x+2)（f(x)是在R上的偶函数）
所以f（x）=-f（x+2）=f（x+4）
即f（x）是以4为周期的周期函数
所以f(2009)=f（2009-4*502）=f（1）=2
若是如此,解题如下：
因为f(x)是在R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,所以
f(x)=f(-x)
g(x)=-g(-x)
由题意,及g(x)=f(x-1)可知
f（x）=g(x+1)（设x+1为t,则g(t)=f(t-1)即为g(x+1)=f（x））
=-g(-x-1)（g(x)是R上的奇函数）
=-f(-x-2）（设-x-1为t,则g(t)=f(t-1)即为g(-x-1)=f（-x-2））
=-f(x+2)（f(x)是在R上的偶函数）
所以f（x）=-f（x+2）=f（x+4）
即f（x）是以4为周期的周期函数
所以f(2009)=f（2009-4*502）=f（1）=2
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