已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F（1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°<α<144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．①若BF′=6，

Question

已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F
（1）如图①，求证：AE=AF；
（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°<α<144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．
①若BF′=6，求CE′的长；
②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠A，∠AEF=∠C，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．
（2） ①由旋转的性质得，∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，
在△CAE′和△BAF′中，

AE′=AF′

∠E′AC=∠F′AB

AB=AC

，
∴△CAE′≌△BAF′（SAS），
∴CE′=BF′=6；
②由（1）可知AE=BC，
所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，

①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，
所以，∠BAM=∠ABC=72°，
又∵∠BAC=36°，
∴α=∠CAM=36°；
②当点E的像E′与点N重合时，
∵CE′∥AB，
∴∠AMN=∠BAM=72°，
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴∠MAN=180°-72°×2=36°，
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，
综上所述，当旋转角α为36°或72°．