若a、b、x、y均为正实数，并且x+y=1，求证：ab≤（ax+by）（ay+bx）≤(a+b)24．

Question

若a、b、x、y均为正实数，并且x+y=1，求证：ab≤（ax+by）（ay+bx）≤((a+b)2)/(4)．

Answer 1

证明：∵（ax+by）（ay+bx）-ab=a²xy+b²xy+abx²+aby²-ab
=xy（a²+b²）+ab（x²+y²-1）
=xy（a²+b²）+ab[（x+y）²-2xy-1]．
∵a、b、x、y均为正实数，x+y=1，
∴（ax+by）（ay+bx）-ab
=xy（a²+b²）-2abxy
=xy（a-b）²≥0，
∴ab≤（ax+by）（ay+bx）．
又（ax+by）（ay+bx）≤[((ax+by)+(ay+bx))/(2)]2=[(a(x+y)+b(x+y))/(2)]2=((a+b)/(2))2=((a+b)2)/(4)．
∴ab≤（ax+by）（ay+bx）≤((a+b)2)/(4)．