已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线Y=2x+1截得的玄长为√15若抛物线与直线y=2x-5无公共点,试...已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线Y=2x+1截得的玄长为√15若抛物线与直线y=2x-

Question

已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线Y=2x+1截得的玄长为√15 若抛物线与直线y=2x-5无公共点,试...
已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线Y=2x+1截得的玄长为√15 若抛物线与直线y=2x-5无公共点,试在抛物线上求一点,使这点到直线的距离最短

Answer 1

设抛物线的标准方程为y²=ax（因为焦点在x轴上,所以可以这么设）
直线Y=2X+1被抛物线截得的线段长为根号15,把y=2x+1带入y²=ax,则(2x+1)²=ax,根据韦达定理
X1+X2=a/4-1,X1*X2=1/4.因为两点距离=√【（x1-x2）²+(y1-y2)²】=√15,
而y1-y2=2x1+1-(2x2+1)=2(x1-x2)
所以（x1-x2）²+(y1-y2)²=（x1-x2）²+4（x1-x2）²=5（x1-x2）²=15
则(x1-x2)²=3
因为（x1-x2）²=（x1+x2）²-4x1x2=(a/4-1)²-1=3,所以a/4-1=2或-2,所以a=12或-4
所以抛物线的标准方程为y²=12x或者y²=-4x
由于抛物线与y=2x-5无公共点,则取y^2=-4x,
设一点的坐标是(m,n),则过此点的切线与y=2x-5平行.
y^2=-4x对X求导得2y*y'=-4,y'=-2/y
那么切线的斜率是k=y'=-2/n=2
故n=-1,m=-n^2/4=-1/4
即点坐标是（-1/4,-1）.