已知x+1/y=y+1/z=z+1/x,且x不等于y不等于z,求证x2y2z2=1(2是指平方)

Question

已知x+1/y=y+1/z=z+1/x,且x不等于y不等于z,求证x2y2z2=1(2是指平方)

Answer 1

令a+1/b=b+1/c=c+1/a=k
ab+1=bk,
bc+1=ck,--------所以bc=kc-1
ca+1=ak.
由ab+1=bk,
abc+c=kbc=k(kc-1)
abc-k=(k^2-1)c,
同样可以算出,
abc-k=(k^2-1)b,abc-k=(k^2-1)a,
abc-k=(k^2-1)a=(k^2-1)b=(k^2-1)c
因为a,b,c互不相等,
所以k^2-1=0,abc-k=0
k^2=1,abc=k
a^2*b^2*c^2=k^2=1