求一道压轴题,想了两个小时,正方形ABCD边长为2,P为形内一动点,PE⊥AB,PF⊥AD,分别交BD于H,G,设PE＝a,PF＝b,ab等于2,求证（1）GH²＝DG²＋BH²（2）连接AG,AH,证△AGB∽△HAD,并求出∠GAH大小

Question

求一道压轴题,想了两个小时,
正方形ABCD边长为2,P为形内一动点,PE⊥AB,PF⊥AD,分别交BD于H,G,设PE＝a,PF＝b,ab等于2,求证（1）GH²＝DG²＋BH²  （2）连接AG,AH,证△AGB∽△HAD,并求出∠GAH大小    （3）△AGH面积有最小值吗,有,请算出；没有,请说理由

Answer 1

(1)
如图,已知正方形ABCD的边长为2,PE=AF=a,PF=AE=b
那么,DF=FG=2-a；PG=PH=b-(2-a)=a+b-2；BE=HE=b-2
由勾股定理得到：
DG²=2(2-a)²；GH²=2(a+b-2)²；BH²=2(2-b)²
则：
DG²+BH²=2[(2-a)²+(2-b)²]=2(a²+b²-4a-4b+8)
GH²=2(a+b-2)²=2(a²+b²+4+2ab-4a-4b)=2(a²+b²-4a-4b+2ab+4)
已知ab=2
所以,GH²=2(a²+b²-4a-4b+8)
则,GH²=DG²+BH²

(2)
如图,过点B作BD的垂线,在垂线上截取BQ=DG,连接AQ、HQ
已知ABCD为正方形,BD为对角线
则,AD=AB
∠ADG=∠ABQ=45°
DG=BQ
所以,△ADG≌△ABQ（SAS）
所以,AG=AQ…………………………………………………………………………（1）
因为BQ⊥BH,则：BQ²+BH²=QH²
即,QH²=DG²+BH²
由(1)的结论知,GH²=DG²+BH²
所以,GH=QH…………………………………………………………………………（2）
边AH公共………………………………………………………………………………（3）
由(1)(2)(3)知,△AGH≌△AQH（SSS）
所以,∠GAH=∠QAH
即,∠1=∠2+∠3
由△ADG≌△ABQ有∠3=∠4
所以,∠1=∠2+∠4
而,∠1+∠2+∠4=90°
所以,∠1=45°


那么,∠DHA=∠2+∠HBA=∠2+45°

而,∠BAG=∠1+∠2=45°+∠2
所以,∠DHA=∠BAG
又,∠ADH=∠GBA=45°
所以,△ADH∽△GBA


(3)
S矩形AEPF=ab=2
S△AFG=(1/2)*a*(2-a)
S△AEH=(1/2)*b*(2-b)
S△GPH=(1/2)(a+b-2)²
所以：S△AGH=2-[(1/2)a(a-2)+(1/2)b(b-2)+(1/2)(a+b-2)²]
=2-[(1/2)a²-a+(1/2)b²-b+(1/2)(a²+b²+4+2ab-4a-4b)]
=2-[(1/2)a²-a+(1/2)b²-b+(1/2)(a²+b²-4a-4b+8)]
=2-(a²-3a+b²-3b+4)
=2-{[a-(3/2)]²+[b-(3/2)]²-(1/2)}
=(5/2)-{[a-(3/2)]²+[b-(3/2)]²}
≤5/2
所以,S△AGH有最大值5/2（此时a=b=3/2）,无最小值.
【估计题目抄错了!因为P无限接近B点（或者D点）时,S△AGH就无限接近于0!】