.三角形PAB中,PA垂直PB,PA=a,PB=b三角形PAB中,PA垂直PB,PA=a,PB=b,设点P到斜边的距离为h,则1/h^2=1/a^2+1/b^2,将此结论推广到空间,可得到类似的结论.(1)在三棱锥P-ABC中,写出你的结论,并证明.(2)在长方体ABCD

Question

.三角形PAB中,PA垂直PB,PA=a,PB=b
三角形PAB中,PA垂直PB,PA=a,PB=b,设点P到斜边的距离为h,则1/h^2=1/a^2+1/b^2,将此结论推广到空间,可得到类似的结论.
(1)在三棱锥P-ABC中,写出你的结论,并证明.
(2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,BC=b,AA1=c,利用上述结论求点B1到平面A1BD的距离.

Answer 1

（1）PA、PB、PC两两垂直,PA=a,PB=b,PC=c,设点P到三角形ABC距离为h,则1/h^2=1/a^2+1/b^2+1/c^2.
证明：三角形ABC面积的2倍为根号下(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)（这个可以通过秦九韶的“三斜求积术”证得,也可以借助立体解析几何中的叉乘法）
根据三棱锥体积公式,体积的6倍的平方=a^2b^2c^2=h^2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2）,两边同除以a^2b^2c^2h^2即得.
（2）考虑三棱锥A-A1BD,显然（1）的所有条件都满足,设A到平面A1BD的距离为h,则1/h^2=1/a^2+1/b^2+1/c^2,h=1/根号下(1/a^2+1/b^2+1/c^2)
又易见三棱锥B1-A1BD与三棱锥A-A1BD同底,等体积,故高相等,
所以点B1到平面A1BD的距离=h=1/根号下(1/a^2+1/b^2+1/c^2).