利用代换y=ucosx将方程y″cosx-2y′sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解．

Question

利用代换y=(u)/(cosx)将方程y″cosx-2y′sinx+3ycosx=e^x化简，并求出原方程的通解．

Answer 1

【解法1】令 u=ycosx，则
u′=y′cosx-ysinx，
u″=y″cosx-2y′sinx-ycosx．
从而，原方程简化为
u″+4u=e^x． （1）
其对应的齐次方程的特征方程为
λ²+4=0，
特征根为 λ=±2i．
因为 1 不是特征根，故设方程的特解为 y*=Ae^x．
代入方程可得，A=(1)/(5)．
所以方程（1）的通解为 u=C₁cos2x+C₂sin2x+(ex)/(5)，
从而原方程的通解为
y=(u)/(cosx)=C1(cos2x)/(cosx)+C₂sinx+(ex)/(5cosx)．
【解法2】令 y=(u)/(cosx)=u secx，则
y′=u′secx+u secx tanx，
y″=u″secx+2u′secx tanx+u secx tan²x+u sec³x．
代入原方程可得，
u″+4u=e^x．（1）
以下的求解过程同解法1．