如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，且BP=2，将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E．（1）求证：△BPD∽

Question

如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，且BP=2，将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E．

（1）求证：△BPD∽△CEP；
（2）是否存在这样的位置，△PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠DPC=∠DPE+∠EPC=∠B+∠BDP，
∴∠EPC=∠BDP，
∴△BPD∽△CEP；
（2）存在．理由如下：
过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=(1)/(2)BC=(1)/(2)×6=3，
∵∠DPE=∠B≠90°，
∴①如图1，若∠PDE=90°，在Rt△ABH和Rt△PDE中，
∴cos∠ABH=cos∠DPE=(BH)/(AB)=(PD)/(PE)=(3)/(5)，
∵△PBD∽△PCE，
∴(PD)/(PE)=(BD)/(PC)，
∵BP=2，
∴PC=BC-BP=6-2=4，
∴(BD)/(4)=(3)/(5)，
解得BD=(12)/(5)；
②如图2，∠PED=90°时，在Rt△ABH和Rt△PDE中，
∴cos∠ABH=cos∠DPE=(BH)/(AB)=(PE)/(PD)=(3)/(5)，
∵△PBD∽△PCE，
∴(PE)/(PD)=(PC)/(BD)=(3)/(5)，
∵PC=4，
∴(4)/(BD)=(3)/(5)，
解得BD=(20)/(3)＞5（舍去），
综上所述，BD的长为(12)/(5)．