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证明平面上一个正三角形的三个顶点,不可能都是整点(在直角坐标系中,纵横坐标均为整数的点)
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证明 平面上一个正三角形的三个顶点,不可能都是整点 (在直角坐标系中,纵横坐标均为整数的点)
▼优质解答
答案和解析
首先,如果存在一个这样的三角形,不妨其中一个顶点为原点(否则可平移至那点)
如果有一个顶点位于Y轴上,则设此点为(0,y)则求出另外一点为(±√3y/2,±y)不可能是整数(因为是无理数)
如果另外两个顶点都不在Y轴上,设这两个点为A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设射线OA,OB与X轴正向所成的角分别为α,β且α-β>0,容易知道α-β=60°.且tanα=y1/x1,tanβ=y2.x2都是有理数
则tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)也应该是有理数,但是tan(α-β)=tan60°=√3是无理数,矛盾
故不存在这样的正三角形,三个顶点都是整点
如果有一个顶点位于Y轴上,则设此点为(0,y)则求出另外一点为(±√3y/2,±y)不可能是整数(因为是无理数)
如果另外两个顶点都不在Y轴上,设这两个点为A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设射线OA,OB与X轴正向所成的角分别为α,β且α-β>0,容易知道α-β=60°.且tanα=y1/x1,tanβ=y2.x2都是有理数
则tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)也应该是有理数,但是tan(α-β)=tan60°=√3是无理数,矛盾
故不存在这样的正三角形,三个顶点都是整点
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