证明平面上一个正三角形的三个顶点,不可能都是整点（在直角坐标系中,纵横坐标均为整数的点）

Question

证明 平面上一个正三角形的三个顶点,不可能都是整点 （在直角坐标系中,纵横坐标均为整数的点）

Answer 1

首先,如果存在一个这样的三角形,不妨其中一个顶点为原点（否则可平移至那点）
如果有一个顶点位于Y轴上,则设此点为（0,y）则求出另外一点为（±√3y/2,±y）不可能是整数（因为是无理数）
如果另外两个顶点都不在Y轴上,设这两个点为A（x1,y1),B(x2,y2),不妨设射线OA,OB与X轴正向所成的角分别为α,β且α-β>0,容易知道α-β=60°.且tanα=y1/x1,tanβ=y2.x2都是有理数
则tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)也应该是有理数,但是tan（α-β）=tan60°=√3是无理数,矛盾
故不存在这样的正三角形,三个顶点都是整点