已知函数fx=x-lnx在x=1处取得极值若关于x的方程fx+2x=x2+b在[1/2,2]上有且只有一个实根,求b范围.注意是lnx

Question

已知函数fx=x-lnx在x=1处取得极值
若关于x的方程fx+2x=x2+b在[1/2,2]上有且只有一个实根,求b范围.注意是lnx

Answer 1

b=fx+2x-x2
令g(x)=f(x)+2x-x^2=3x-x^2-lnx 则x>0
g'(x)=3-2x-1/x
3-2x-1/x=0可得x=1/2或x=1
则g(x)在（1/2,1)上单调增,在(0,1/2),(1,+∞)上单调减
当x∈[1/2,2]时,g（x）最大值g（1)=2
g(x)的最小值为g(2)=2-ln2
由于x的方程fx+2x=x2+b在[1/2,2]上有且只有一个实根
所以b∈[2-ln2,2]