两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA如图放置(图5),点B、A、D在同一条直线上.BF是∠ABC的平分线过,点D作DF⊥BF,垂足为F,连结CE.试探究：线段BF、CE的关系,并证明你的结论.不要用余弦之类的

Question

两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA如图放置(图5),点B、A、D在同一条直线上.BF是∠ABC的平分线过,点D作DF⊥BF,垂足为F,连结CE.试探究：线段BF、CE的关系,并证明你的结论.
不要用余弦之类的

Answer 1

证明：2BF=CE,且BF⊥CE．
过点E作EG⊥CB的延长线于点G．可得BDEG是矩形,即BD=EG,BG=DE,
设BC=AD=m,AB=DE=n．
∵BF是∠ABC的平分线,
∴∠DBF=45°,
又∵DF⊥BF,
∴∠FDB=45°,
∴△BFD是等腰直角三角形,
∴BF2+DF2=BD2,BF2+BF2=（AB+AD）2=（m+n）2,
∴BF=根号2/2 （m+n）．
又∵△CGE也是直角三角形,
∴CE2=CG2+GE2
=（CB+BG）2+BD2
=（CB+DE）2+（AB+AD）2
=（m+n）2+（m+n）2
=2（m+n）2
∴CE=根号2（m+n）．
由此可得,2BF=CE；
∵∠GCE=∠CBF=45°,
∴CE⊥BF．