已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.若该直线被椭圆截得的最长弦长为2倍的根号10除以5,求该直线的方程

Question

已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.若该直线被椭圆截得的最长弦长为2倍的根号10除以5,求该
直线的方程

Answer 1

将Y=X+M
代入4X²+Y²=1得
4X²+X²+2XM+M²=1
即5X²+2MX+M²-1=0
根据题意知有公共点
德尔塔Δ=4M²-4*5(M²-1)≥0
解得-√5/2≤M≤√5/2
设直线与椭圆相交于A(X1,Y1),B(X2,Y2)
则X1,X2是方程5X²+2MX+M²-1=0的两个根
X1+X2=-2M/5
X1*X2=(M²-1)/5
因为直线被椭圆截得的弦长为五分之二倍根号十
所以
(X1-X2)²+(Y1-Y2)²=(2√10/5)²
即(X1-X2)²+(X1+M-X2-M)²=8/5
(X1-X2)²=4/5
(X1+X2)²-4X1X2=4/5
将X1+X2=-2M/5
X1*X2=(M²-1)/5
代入得
4M²/25-4(M²-1)/5=4/5
乘以25后整理得
-16M²=0
所以M=0
直线的方程为y=x