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如图,正方形ABCD中,M为AD边上的一点,连接BM,过点C作CN∥BM,交AD的延长线于点N,在CN上截取CE=BC,连接BE交CD于F,(1)若∠AMB=60°,CE=23,求DF的长度;(2)求证:BM=DN+CF.
题目详情
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-10/02/1538476649-3092.jpg)
(1)若∠AMB=60°,CE=2
3 |
(2)求证:BM=DN+CF.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,AB=BC=CD=DA,AD∥BC.
∵CN∥BM,![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-10/02/1538476649-2633.jpg)
∴四边形BCNM是平行四边形,
∴BM=CN,∠AMB=∠MBC.
∵∠AMB=60°,
∴∠MBC=60°,
∴∠BCN=120°.
∵BC=CE,
∴∠1=∠2=30°,
∴BF=2CF.
在Rt△BCF中,BC=2
,由勾股定理,得
CF=2.
∵CD=2
,
∴DF=2
-2.
答:DF=2
-2;
(2)过点C作CG⊥BE交AD于点H,
∴∠BGC=∠FGC=90°.
∴∠1=∠4.
在△BCF和△CDH中
,
∴△BCF≌△CDH(ASA),
∴CF=HD.
∵∠CHN=90°-∠4,∠ECG=90°-∠2=90°-∠1=90°-∠4
∴∠CHN=∠ECG,
∴CN=HN
∵四边形MBCN为平行四边形,
∴BM=CN,
∴BM=CN=HN=DN+HD=DN+CF.
∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,AB=BC=CD=DA,AD∥BC.
∵CN∥BM,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-10/02/1538476649-2633.jpg)
∴四边形BCNM是平行四边形,
∴BM=CN,∠AMB=∠MBC.
∵∠AMB=60°,
∴∠MBC=60°,
∴∠BCN=120°.
∵BC=CE,
∴∠1=∠2=30°,
∴BF=2CF.
在Rt△BCF中,BC=2
3 |
CF=2.
∵CD=2
3 |
∴DF=2
3 |
答:DF=2
3 |
(2)过点C作CG⊥BE交AD于点H,
∴∠BGC=∠FGC=90°.
∴∠1=∠4.
在△BCF和△CDH中
|
∴△BCF≌△CDH(ASA),
∴CF=HD.
∵∠CHN=90°-∠4,∠ECG=90°-∠2=90°-∠1=90°-∠4
∴∠CHN=∠ECG,
∴CN=HN
∵四边形MBCN为平行四边形,
∴BM=CN,
∴BM=CN=HN=DN+HD=DN+CF.
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