如图，正方形ABCD中，M为AD边上的一点，连接BM，过点C作CN∥BM，交AD的延长线于点N，在CN上截取CE=BC，连接BE交CD于F，（1）若∠AMB=60°，CE=23，求DF的长度；（2）求证：BM=DN+CF．

Question

如图，正方形ABCD中，M为AD边上的一点，连接BM，过点C作CN∥BM，交AD的延长线于点N，在CN上截取CE=BC，连接BE交CD于F，
（1）若∠AMB=60°，CE=2√(3)，求DF的长度；
（2）求证：BM=DN+CF．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA，AD∥BC．
∵CN∥BM，
∴四边形BCNM是平行四边形，
∴BM=CN，∠AMB=∠MBC．
∵∠AMB=60°，
∴∠MBC=60°，
∴∠BCN=120°．
∵BC=CE，
∴∠1=∠2=30°，
∴BF=2CF．
在Rt△BCF中，BC=2√(3)，由勾股定理，得
CF=2．
∵CD=2√(3)，
∴DF=2√(3)-2．
答：DF=2√(3)-2；

（2）过点C作CG⊥BE交AD于点H，
∴∠BGC=∠FGC=90°．
∴∠1=∠4．
在△BCF和△CDH中

∠1＝∠4

BC＝CD

∠BCD＝∠CDH

，
∴△BCF≌△CDH（ASA），
∴CF=HD．
∵∠CHN=90°-∠4，∠ECG=90°-∠2=90°-∠1=90°-∠4
∴∠CHN=∠ECG，
∴CN=HN
∵四边形MBCN为平行四边形，
∴BM=CN，
∴BM=CN=HN=DN+HD=DN+CF．