（2014•杨浦区三模）梯形ABCE中，AD∥BC，DC⊥BC，CE⊥AB于点E，点F在边CD上，且BE•CE=BC•CF．（1）求证：AE•CF=BE•DF；（2）若点E为AB中点，求证：AD•BC=2EC2-BC2．

Question

（2014•杨浦区三模）梯形ABCE中，AD∥BC，DC⊥BC，CE⊥AB于点E，点F在边CD上，且BE•CE=BC•CF．
（1）求证：AE•CF=BE•DF；
（2）若点E为AB中点，求证：AD•BC=2EC²-BC²．

Answer 1

证明：（1）∵CE⊥AB，
∴∠B+∠BCE=90°，
∵DC⊥BC，
∴∠DCE+∠BCE=90°，
∴∠B=∠DCE，
∵BE×CE=BC×CF，
∴(BE)/(BC)=(CF)/(CE)，
∴△BCE∽△CEF，
∴∠BCE=∠CEF，
∴EF∥BC，
∴(AE)/(BE)=(DF)/(CF)，
即AE•CF=BE•DF．

（2）∵在梯形ABCD中，EF∥BC∥AD，E为AB中点，
∴F为DC的中点，
∴EF=(1)/(2)（AD+BC），
∵△BCE∽△CEF，
∴(BC)/(CE)＝(CE)/(EF)，即CE²=BC•EF，
∴CE²=(1)/(2)（AD+BC）•BC，
整理得：AD•BC=2EC²-BC²．