数学题急已知点A（-1,0）,B（-1,1）和抛物线C：y^2=4x,O为坐标原点,过点A的动直线l叫抛物线C于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q（图麻烦自己画一下）.（1）证明：向量OM*向量OP为定值（2）若△POM

Question

数学题 急
已知点A（-1,0）,B（-1,1）和抛物线C：y^2=4x,O为坐标原点,过点A的动直线l叫抛物线C于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q（图麻烦自己画一下）.
（1）证明：向量OM*向量OP为定值
（2）若△POM的面积为5/2,求向量OM与向量OP的夹角
（3）证明直线PO恒过一个顶点

Answer 1

考点：抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：计算题．
分析：（I）设点p,M,A三点共线进而可知AM和PM的斜率相等求得y1y2=4进而根据向量积的运算和两向量的夹角,求得 |OM→|•|OP→|•cos45°的值,进而利用三角形面积公式求得三角形POM的面积．
（II）设出Q的坐标,根据M,B,Q共线,利用BQ和QM的斜率相等利用点的坐标求得y1y3+y1+y3+4=0．,把y1y2=4代入求得y2和y3的关系式,表示出PQ的斜率,进而可表示出直线PQ的方程,进而利用4（y2+y3）+y2y3+4=0求得（y+4）（y2+y3）=4（x-1）,进而可推断出直线PQ过定点．
（I）设点p,M,A三点共线,∴kAM=kPM,
即 y1y124+1=y1-y2y124-y224,即 y1y12+4=1y1+y2,∴y1y2=4,
∴ OM→•OP→=y124•y224+y1y2=5．
∵向量 OM→与 OP→的夹角为45°,∴ |OM→|•|OP→|•cos45°=52,
∴ S△POM=12|OM→|•|OP→|•sin45°=52．
（II）设点 Q(y324,y3）,
∵M,B,Q三点共线,∴kBQ=kQM,
即 y3+1y324-1=y1-y3y124-y324,即 y3+1y32-4=1y1+y3,
∴（y3+1）（y1+y3）=y32-4,即y1y3+y1+y3+4=0．
∵y1y2=4,即 y1=4y2,∴ 4y2•y3+4y2+y3+4=0,
即4（y2+y3）+y2y3+4=0．（*）∵ kPQ=y2-y3y224-y324=4y2+y3,
∴直线PQ的方程是 y-y2=4y2+y3(x-y224),
即（y-y2）（y2+y3）=4x-y22,即y（y2+y3）-y2y3=4x．
由（*）式,-y2y3=4（y2+y3）+4,代入上式,得（y+4）（y2+y3）=4（x-1）．
由此可知直线PQ过定点E（1,-4）．
点评：本题主要考查了抛物线的应用,平面解析几何的基础知识．考查了学生分析推理和基本的运算能力．