在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．（1）若∠BAC=40°，求∠AEB的度数；（2）求证：∠AEB=∠ACF；（3）求证：EF2+BF2=2AC2．

Question

在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．

（1）若∠BAC=40°，求∠AEB的度数；
（2）求证：∠AEB=∠ACF；
（3）求证：EF²+BF²=2AC²．

Answer 1

（1） ∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
又∵∠BAC=40°，∠EAC=90°，
∴∠BAE=40°+90°=130°，
∴∠AEB=（180°-130°）÷2=25°；

（2）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAF=∠CAF．
在△BAF和△CAF中

AF=AF

∠BAF=∠CAF

AB=AC

∴△BAF≌△CAF（SAS），
∴∠ABF=∠ACF，
∵∠ABE=∠AEB，
∴∠AEB=∠ACF；

（3）证明：∵△BAF≌△CAF，
∴BF=CF，
∵∠AEB=∠ACF，∠AGE=∠FGC，
∴∠CFG=∠EAG=90°，
∴EF²+BF²=EF²+CF²=EC²，
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAE=90°，AC=AE，
∴EC²=AC²+AE²=2AC²，
即EF²+BF²=2AC²．