如图，已知BD是等腰Rt△ABC腰上的中线，AE⊥BD于点E，AE的延长线交BC于点F，连接DF，求证：∠ADB=∠CDF．

Question

如图，已知BD是等腰Rt△ABC腰上的中线，AE⊥BD于点E，AE的延长线交BC于点F，连接DF，求证：∠ADB=∠CDF．

Answer 1

证明：作AG平分∠BAC，交BD于点G
∵∠BAC=90°，AE⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB=∠ABE+∠ADB=90°，
∴∠ABG=∠CAF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠C=∠BAG=45°，
在△BAG和△CAF中，

∠ABG=∠CAF

AB=AC

∠C=∠BAG=45°

，
∴△BAG≌△CAF（ASA），
∴AG=CF，
在△AGD和△DFC中，

AG=FG

∠GAD=∠C

AD=CD

，
∴△AGD≌△DFC（SAS），
∴∠ADB=∠CDF．