解方程：x^4+(x-4)^4=626设y=x+x-4/2即：y=x+2

Question

解方程：
x^4+(x-4)^4=626
设y=x+x-4/2
即：y=x+2

Answer 1

因为本式是比较特殊的一元四次方程.一元四次方程通常可以用求根公式求得,而特殊的方程不用求根公式也可以解出.例如：X^4=A
或者是可以分解成多项式乘积的形式,最终化为(X-a)(X-b)(X-c)(X-d)=0
对此题,如果只有4次方和2次方,所以也可以用z=x^2代入计算,先用一元二次方程求根公式求出y的解,并去除虚根,然后再计算x就可以了.
为达到此目的,用y=x-2进行换元,可以直接去除三次项和一次项,从而方程化为a(x^2)^2+b(X^2)+c=0
即：
(y+2)^4+(y-2)^4=626
(y^4+8y^3+24y^2+32Y+16)+(y^4-8y^3+24y^2-32Y+16)=626
2(y^4+24Y^2+16)=626
y^4+24y^2-297=0
令z=y^2,有
z^2+24z-297=0
(z+33)(z-9)=0
z1=-33 虚根舍去
z2=9
所以 y^2=9
y1=3 y2=-3
x1=5 x2=-1
所以以上方程有2个实数解,分别为5、-1