过抛物线x2=4y焦点F的直线l与抛物线交于AB,若|BF|,|FA|,|BA|成等差数列,求直线l的方程

Question

过抛物线x2=4y焦点F的直线l与抛物线交于AB,若|BF|,|FA|,|BA|成等差数列,求直线l的方程

Answer 1

题目是圆锥曲线的知识和线段定比分点知识的综合应用,在思维和计算层面上都有一定的量.
希望以下的解答能够给你带去一些帮助.
抛物线x^2=4y的焦点F坐标易知为F（0,2）
直线l过点F且与抛物线有两个交点可知直线l斜率存在
可设直线l的斜截式为y=kx+c
则可算得 c=2
现设A、B两点坐标为A（a,b）,B（c,d）
由|FB|,|AF|,|AB|成等差数列
所以 2 |AF|=|FB|+|AB|=|FB|+|FB|+|AF|=2|FB|+|AF|
即 |AF|=2|FB|
由题意可知F点在A、B两点间
由|AF|=2|FB|知F为线段AB的定比分点
由定比分点的坐标公式可知
0=（a+2c)/(1+2)
2=(b+2d)/(1+2)
且A、B两点在抛物线上
a^2=4b
c^2=4d
综合可算得 c^2=4 即 c=2或c=-2
代入可算得
A（-4,4）B（2,1）
A（4,4）B（-2,1）
当AB两点坐标为A（-4,4）B（2,1）时
直线方程为 y=(-1/2)x+2 即 2y+x-4=0
当AB两点坐标为A（4,4）B（-2,1）时
直线方程为 y=(1/2)x+2 即 2y-x-4=0
综上可得
直线l方程为 2y+x-4=0 或 2y-x-4=0
如上的解答能够解决这一题目,希望我的解答过程能够让你理解,并帮助你完成知识点的巩固.
同时希望得到你对答案的采纳!