如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面是边长为1的正三角形，∠A1AB=∠A1AC=45°．（Ⅰ）求异面直线AA1与BC所成的角；（Ⅱ）求此棱柱的表面积和体积．

Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为√(2)，底面是边长为1的正三角形，∠A₁AB=∠A₁AC=45°．
（Ⅰ）求异面直线AA₁与BC所成的角；
（Ⅱ）求此棱柱的表面积和体积．

Answer 1

（Ⅰ）过A₁作A₁H⊥平面ABC，垂足为H．
过H作HD⊥AB，连A₁D则A₁D⊥AB
作HF⊥AC，连结A₁F则A₁F⊥AC，又∠A₁AB=∠A₁AC=45°
∴Rt△DAA₁≌Rt△FAA₁，∴AD=AF∴Rt△ADH≌Rt△FAH
所以H在∠CAB平分线AE上，由△ABC为正三角形，
∴BC⊥AE⇒BC⊥AA₁
异面直线AA₁与BC所成角为90°；-------------（7分）
（未证明H在∠CAB平分线AE上，扣3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在直角三角形A₁AD中，计算得A₁D=AD=1，
在Rt△ADH中，计算得DH=(√(3))/(3)
在Rt△A₁DH中，计算得A1H＝(√(6))/(3)，
∴S＝2S△ABC+SBCC1B1=(√(3))/(2)+2+√(2)．
V=S_△ABC•A₁H=(√(3))/(4)×＝(√(2))/(4)---------------------（14分）