已知直线l1：3x+4y-5=0，圆O：x2+y2=4．（1）求直线l1被圆O所截得的弦长；（2）如果过点（-1，2）的直线l2与l1垂直，l2与圆心在直线x-2y=0上的圆M相切，圆M被直线l1分成两段圆弧，其弧长比为2：1

Question

已知直线l₁：3x+4y-5=0，圆O：x²+y²=4．
（1）求直线l₁被圆O所截得的弦长；
（2）如果过点（-1，2）的直线l₂与l₁垂直，l₂与圆心在直线x-2y=0上的圆M相切，圆M被直线l₁分成两段圆弧，其弧长比为2：1，求圆M的方程．

Answer 1

（1）由题意得：圆心到直线l₁：3x+4y-5=0的距离d=(|0+0-5|)/(√(32+42))=1，由垂径定理得弦长为2√(3)
（2）直线l2：y-2=(4)/(3)(x+1)
设圆心M为(a，(a)/(2))圆心M到直线l₂的距离为r，即圆的半径，由题意可得，圆心M到直线l₁的距离为(r)/(2)，所以有：(|4a-(3)/(2)a+10|)/(√(32+42))=(2×|3a+2a-5|)/(√(32+42))=(r)/(2)，
解得：a=(8)/(3)，所以圆心为M((8)/(3)，(4)/(3))，r=(10)/(3)，所以所求圆方程为：(x-(8)/(3))2+(y-(4)/(3))2=(100)/(9)
或a=0，即圆方程为：x²+y²=4