已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心．（1）求证：三棱锥S-ABC为正三棱锥．（2）若二面角H-AB-C的平面角等于30°，SA=23，求三棱锥S-ABC的体积．

Question

已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心．
（1）求证：三棱锥S-ABC为正三棱锥．
（2）若二面角H-AB-C的平面角等于30°，SA=2√(3)，求三棱锥S-ABC的体积．

Answer 1

证明：（1）如图，AH⊥面SBC，设BH交SC于E，连接AE
∵H是△SBC的垂心
∴BE⊥SC，
∵AH⊥平面SBC，SC⊆平面SBC
∴AH⊥SC，结合BE∩AH=H
∴SC⊥平面ABE，
∵AB⊆平面ABE，
∴AB⊥SC
设S在底面ABC内的射影为O，则SO⊥平面ABC，
∵AB⊆平面ABC
∴AB⊥SO，结合SC∩SO=S
∴AB⊥平面SCO，
∵CO⊆平面SCO
∴CO⊥AB，同理BO⊥AC，
可得O是△ABC的垂心
∵△ABC是正三角形
∴S在底面△ABC的射影O是△ABC的中心
∴三棱锥S-ABC为正三棱锥．…（6分）
（2）由（1）有SA=SB=SC=2√(3)，
延长CO交AB于F，连接EF
∵CF⊥AB，CF是EF在面ABC内的射影，
∴EF⊥AB，
∴∠EFC为二面角H-AB-C的平面角，∠EFC=30°，
∵SC⊥平面ABE，EF⊆平面ABE，
∴EF⊥SC，Rt△EFC中，∠ECF=60°，
可得Rt△SOC中，OC=SCcos60°=√(3)，
SO=SCsin60°=3，
∴正三角形ABC中，AB=√(3)OC=3，
S△ABC=(√(3))/(4)•32=(9√(3))/(4)
∴VS-ABC=(1)/(3)S△ABC•SO=(9√(3))/(4)…（12分）