如图，AB是O的直径，弦CD和AB相交于P，且∠APC=45°，OQ是弦CD的弦心距．（1）求证：PC-PD=2OQ．（2）若O的半径为5cm，求PC2+PD2的值．

Question

如图，AB是 O的直径，弦CD和AB相交于P，且∠APC=45°，OQ是弦CD的弦心距．

（1）求证：PC-PD=2OQ．
（2）若 O的半径为5cm，求PC²+PD²的值．

Answer 1

（1）证明：∵OQ是弦CD的弦心距，
∴CQ=DQ，OQ⊥CD，
∵∠APC=45°，
∴∠QOP=45°，
∴OQ=OP，
∴PQ=PC-CQ=PC-DQ=PC-PQ-PD，
∴PC-PD=2PQ=2OQ；

（2） 作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC，OD，
∴∠NDP=∠MCP=∠APC=45°
又∵OC=OD，
∴∠ODP=∠OCP，
∴∠NDO=∠COM，
在Rt△ODN与Rt△COM中，

∠OMC=∠OND=90°

∠COM=∠NDO

OC=OD

，
∴Rt△ODN≌Rt△COM，
∴ON=CM=PM，OM=ND=PN
又∵OC²=CM²+OM²，OD²=DN²+ON²
∴OC²=CM²+PN²，OD²=DN²+PM²
∴OC²+OD²=CM²+PN²+DN²+PM²=PC²+PD²，
∴PC²+PD²=2×5²=50．