向等距的平行线上投针,针长为线距的一半,投针数为n,与直线相交的针数为m,则n÷m近似等于π.

Question

向等距的平行线上投针,针长为线距的一半,投针数为 n ,与直线相交的针数为 m ,则 n ÷ m 近似等于 π .

Answer 1

布丰（Comte de Buffon）设计出他的著名的投针问题（needle problem）.依靠它,可以用概率方法得到π的近似值.假定在水平面上画上许多距离为a的平行线,并且,假定把一根长为l＜a的同质均匀的针随意地掷在此平面上.布丰证明：该针与此平面上的平行线之一相交的概率为：p=2l/(api) 把这一试验重复进行多次,并记下成功的次数,从而得到P的一个经验值,然后用上述公式计算出π的近似值,用这种方法得到的最好结果是意大利人拉泽里尼（Lazzerini）于1901年给出的.他只掷了3408次针,就得到了准确到6位小数的π的值.他的试验结果比其他试验者得到的结果准确多了,甚至准确到使人们对它有点怀疑.还有别的计算π的概率方法.例如,1904年,查尔特勒斯（R·Chartres）就写出了应用下列实例的报告：如果写下任意两个整数测它们互素的概率为6／π2.
下面就是一个简单而巧妙的证明.找一根铁丝弯成一个圆圈,使其直径恰恰等于平行线间的距离d.可以想象得到,对于这样的圆圈来说,不管怎么扔下,都将和平行线有两个交点.因此,如果圆圈扔下的次数为n次,那么相交的交点总数必为2n.现在设想把圆圈拉直,变成一条长为πd的铁丝.显然,这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些,可能有4个交点,3个交点,2个交点,1个交点,甚至于都不相交.由于圆圈和直线的长度同为πd,根据机会均等的原理,当它们投掷次数较多,且相等时,两者与平行线组交点的总数可望也是一样的.这就是说,当长为πd的铁丝扔下n次时,与平行线相交的交点总数应大致为2n.现在转而讨论铁丝长为l的情形.当投掷次数n增大的时候,这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长度l成正比,因而有：m=kl,式中k是比例系数.为了求出k来,只需注意到,对于l=πk的特殊情形,有m=2n.于是求得k=(2n)/(πd).代入前式就有：m≈(2ln)/(πd)从而π≈(2ln)/(dm)