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已知幂函数f(x)=xm2−2m−3(m∈Z)在(0,+∞)是单调减函数,且为偶函数.(1)求f(x)的解析式;(2)讨论F(x)=af(x)+(a-2)x5•f(x)的奇偶性,并说明理由.

题目详情
已知幂函数f(x)=xm2−2m−3(m∈Z)在(0,+∞)是单调减函数,且为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)讨论F(x)=af(x)+(a-2)x5•f(x)的奇偶性,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)由幂函数f(x)=xm2−2m−3(m∈Z)在(0,+∞)是单调减函数,
得:m2-2m-3<0⇒-1<m<3,又m∈z,∴m=0或1或2,
m=0时f(x)=x-3;m=1时f(x)=x-4,m=2时f(x)=x-3
又函数是偶函数,∴f(x)=x-4
(2)F(x)=a•x-4+(a-2)x,
当a=0时,F(x)=-2x,∵F(-x)=-F(x),∴函数是奇函数;
当a=2时,F(x)=
2
x4
,∵F(-x)=F(x),∴函数是偶函数;
当a≠0且a≠2时,F(1)=2a-2,F(-1)=2,
F(1)≠±F(-1),∴函数对∀x∈(-∞,0)∪(0,+∞),F(-x)=F(x)不成立,F(-x)=-F(x)也不成立,
∴函数F(x)是非奇非偶函数.