设f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=ex.若对任意的x∈[a，a+1]，不等式f（x+a）≥f2（x）恒成立，则实数a的最大值是（）A.−32B.−23C.−34D.2

Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=e^x.若对任意的x∈[a，a+1]，不等式f（x+a）≥f²（x）恒成立，则实数a的最大值是（　　）
A. −(3)/(2)
B. −(2)/(3)
C. −(3)/(4)
D. 2

Answer 1

∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴不等式f（x+a）≥f²（x）恒成立等价为f（|x+a|）≥f²（|x|）恒成立，
∵当x≥0时，f（x）=e^x．
∴不等式等价为e^|x+a|≥（e^|x|）²=e^2|x|恒成立，
即|x+a|≥2|x|在[a，a+1]上恒成立，
平方得x²+2ax+a²≥4x²，
即3x²-2ax-a²≤0在[a，a+1]上恒成立，
设g（x）=3x²-2ax-a²，
则满足

g(a)≤0

g(a+1)≤0

，
∴

g(a)＝3a2−2a2−a2≤0

g(a+1)＝3(a+1)2−2a(a+1)−a2≤0

，
即

0≤0

4a+3≤0

，
∴a≤−(3)/(4)，
故实数a的最大值是−(3)/(4)．
故选：C．