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设映射f：X→Y,A,B都是X的子集,证明:f(A∩B)是f(A)∩f(B)的子集.
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设映射f：X→Y,A,B都是X的子集,证明:f(A∩B)是f(A)∩f(B)的子集.
▼优质解答
答案和解析
∵A,B是X的子集
∴A∩B包含于A且包含于B 即A∩B也是X的子集
∴f(A∩B)包含于Y
A,B经f作用后f(A),f(B)包含于Y
∴f(A)∩f(B)包含于Y.
又∵对于A∩B中的任意元素x
那么有x∈A且x∈B即
f(x)∈f(A)且f(x)∈f(B)
∴f(x)∈f(A)∩f(B)
∴f(A∩B)包含于f(A)∩f(B)
∴f(A∩B)是f(A)∩f(B)的子集.
∴A∩B包含于A且包含于B 即A∩B也是X的子集
∴f(A∩B)包含于Y
A,B经f作用后f(A),f(B)包含于Y
∴f(A)∩f(B)包含于Y.
又∵对于A∩B中的任意元素x
那么有x∈A且x∈B即
f(x)∈f(A)且f(x)∈f(B)
∴f(x)∈f(A)∩f(B)
∴f(A∩B)包含于f(A)∩f(B)
∴f(A∩B)是f(A)∩f(B)的子集.
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