“嫦娥一号”探月卫星为绕月极地卫星．利用该卫星可对月球进行成像探测．设卫星在绕月极地轨道上做匀速圆周运动时距月球表面的高度为H，绕行周期为TM；月球绕地球公转的周期为TE，

Question

“嫦娥一号”探月卫星为绕月极地卫星．利用该卫星可对月球进行成像探测．设卫星在绕月极地轨道上做匀速圆周运动时距月球表面的高度为H，绕行周期为T_M；月球绕地球公转的周期为T_E，轨道半径为R₀；地球半径为R_E，月球半径为R_M．已知光速为c．
（1）如图所示，当绕月极地轨道的平面与月球绕地球公转的轨道平面垂直时（即与地心到月心的连线垂直时），求绕月极地卫星向地球地面发送照片需要的最短时间；
（2）忽略地球引力、太阳引力对绕月卫星的影响，求月球与地球的质量之比．

Answer 1

（1）如图所示，设探月极地卫星到地心距离为L₀，则卫星到地面的最短距离为L₀-R_E，由几何知识知：
L02＝R02+(RM+H)2   
故将照片信号发回地面的最短时间：
t＝(L0−RE)/(c)=(√(R02+(RM+H)2)−RE)/(c)
（2）由牛顿第二定律有：F_向=ma_n=m((2π)/(T))2r，由万有引力定律公式有：
F_引=G(Mm)/(r2)，
则月球绕地球公转时由万有引力提供向心力，故：G(M月M地)/(R02)=M月((2π)/(TE))2R0… ①
同理对探月卫星绕月有：G(M月M卫)/((RM+H)2)＝M卫((2π)/(TM))2(RM+H)…②
由①②联立解得：(M月)/(M卫)＝(TE2(RM+H)3)/(TM2R03)
答：（1）绕月极地卫星向地球地面发送照片需要的最短时间为(√(R02+(RM+H)2)−RE)/(c)；
（2）忽略地球引力、太阳引力对绕月卫星的影响，月球与地球的质量之比为(TE2(RM+H)3)/(TM2R03)．