已知正方形ABCD,AC是对角线,AP的平方+PC的平方＝2BP的平方,证明点P一定在对角线上

Question

已知正方形ABCD,AC是对角线,AP的平方+PC的平方＝2BP的平方,证明点P一定在对角线上

Answer 1

如图,假如P不在AC上,例如在AC下方,则∠PAB,∠PCF都小于45o,有a＞b.d＞c AP2+CP2＝a2+b2+c2+d2＞b2+b2+c2+c2＝2﹙b2+c2﹚＝2EF2＝2PB2 矛盾,[PEDF是作出的辅助矩形,对角线相等,] 类似地,P在AC上方时,AP2+CP2＝a2+b2+c2+d2＜b2+b2+c2+c2＝2﹙b2+c2﹚＝2EF2＝2PB2 也不可.而当P在AC上时,∠PAB＝∠PCF＝45o,a＝b,c＝d AP2+CP2＝a2+b2+c2+d2＝b2+b2+c2+c2＝2﹙b2+c2﹚＝2EF2＝2PB2 ,所以,AP2+CP2＝2PB2 时,P一定在对角线AC之上.证明完成.