在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ和曲线C2：ρcosθ=3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C1上一动点

Question

在极坐标系中，已知曲线C₁：ρ=2cosθ和曲线C₂：ρcosθ=3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线C₁和曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P是曲线C₁上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C₂于点Q，求线段PQ长度的最小值．

Answer 1

（ I）C₁的直角坐标方程为（x-1）²+y²=1，…（2分），
C₂的直角坐标方程为x=3；…（4分）
（ II）设曲线C₁与x轴异于原点的交点为A，
∴PQ过点A（2，0），
设直线PQ的参数方程为，
代入C₁可得t²+2tcosθ=0，解得，
可知|AP|=|t₂|=|2cosθ|…（6分）
代入C₂可得2+tcosθ=3，解得t/=(1)/(cosθ)，
可知|AQ|=|t/|=|(1)/(cosθ)|                     …（8分）
所以PQ=|AP|+|AQ|=|2cosθ|+|(1)/(cosθ)|≥2√(2)，当且仅当|2cosθ|=|(1)/(cosθ)|时取等号，
所以线段PQ长度的最小值为2√(2)．…（10分）