求复合函数解析式f(f(x))=x^2+x,求f(x)表达式

Question

求复合函数解析式
f(f(x))=x^2+x,求f(x)表达式

Answer 1

复合函数其主要有以下几个题型：
题型一
已 知 函 数 y =f（ x）的 解 析 式,求 函 数 y =f［ g（ x）］的解析式
解法：将函数 y = f（ x）中的全部 x都用 g（ x）来代换,即可得到复合函数 y = f［ g（ x）］的解析式 .
例 1 若 f（x）= 3x+ 1,g（x）= x2,则 f｛f［g（x）］｝= .
f｛f［ g（ x）］｝= f［3g（ x）+ 1］ = 3［3g（ x）+ 1］+ 1
=9g（ x）+ 4 = 9x2+ 4.
题型二
已 知 函 数 y =f［ g（ x）］的解析式,求函数 y =f（ x）的解析式 .
解法：令 t = g（ x）,由此解出 x = h（ t）,求出以 t为自变量的函数 y = f（ t）的解析式 .因为y = f（ t）和 y = f（ x）为同一函数,所以将函数 y = f（ t）中的全部 t都换成 x,即可得到函数 y =f（ x）的解析式 .
例 2 若 f（3x + 1）= 6x +4,则 f（ x）= .
令 t = 3x + 1,则 x =(t- 1)/3 ,∴ f（ t）= 6 × (t- 1)/3 + 4 =2t+ 2.
∴ f（ x）= 2x + 2.
题型三
已 知 函 数 y =f［ g（ x）］的解析式,求函数 y =f［ h（ x）］的解析式 .
解法：利用题型二,由函数 y = f［ g（ x）］的解析式,可求出函数 y = f（ x）的解析式,再利用题型一,由函数 y = f（ x）的解析式,可求出函数 y = f［ h（ x）］的解析式 .
例 3 若 f（2x - 1）= 4x2 + 1,则 f（ x + 1）=
令 t = 2x - 1,则 x =（t+ 1）/2,
∴ f（ t）= 4 ×［（t+ 1）/2］2 + 1=（ t+ 1） 2+ 1,
∴ f（ x）=（ x + 1）2 + 1,
∴ f（x + 1）=［（x + 1）+ 1］2 + 1 = x2 + 4x + 5.
题型四
利用待定系数法求函数的解析式 .
例 4 若 f（ x）为一次函数,f（2x+ 3）+ f（- x）=x+ 2,则 f（ x）= .
令 f（x）= ax+ b,
则 f（2x+ 3）= a（2x+ 3）+ b= 2ax + 3a + b,f（- x）= - ax + b.
由f（2x+3）+ f（- x）= 3x+ 2知,（2ax+3a+ b）+（- ax+b）= 3x + 2,
即 ax + 3a + 2b = 3x + 2.显然,a = 3,解得 3a + 2b = 2 ,b = -7/2.
∴ f（ x）= 3x -7/2.
题型五
利用解方程组求函数的解析式 .
例 5 若f(x)+2f(-x)=x2-x,求f(x)解析式
f(-x)+2f(x)=x2+x (1)
f( x)+2f(-x)=x2-x (2)
2*(1)式-（2）式整理得：3f(x)=x2+3x 所以f(x)=(x2+3x)/3