求I=∫L（exsiny-b（x+y））dx+（excosy-ax）dy，其中a，b为正的常数，L为从点A（2a，0）沿曲线y=2ax−x2到点O（0，0）的弧．

Question

求I=∫_L（e^xsiny-b（x+y））dx+（e^xcosy-ax）dy，其中a，b为正的常数，L为从点A（2a，0）沿曲线y=√(2ax−x2)到点O（0，0）的弧．

Answer 1

添加从点O（0，0）到点A（2a，0）的有向直线段L₁，则
I=∫ L+L1（e^xsiny-b（x+y））dx+（e^xcosy-ax）dy−∫L1(exsiny−b(x+y))dx+(excosy−ax)dy=I₁-I₂
利用格林公式I₁=

∫∫

D

((∂Q)/(∂x)−(∂P)/(∂y))dxdy＝

∫∫

D

(b−a)dxdy＝(π)/(2)a2(b−a)
而I₂的积分有向直线段L₁的参数方程为：

x＝x

y＝0

，(0≤x≤2a)
于是I2＝

∫

2a 0

(−bx)dx＝−2a2b
∴I＝I1−I2＝((π)/(2)+2)a2b−(π)/(2)a3