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求I=∫L(exsiny-b(x+y))dx+(excosy-ax)dy,其中a,b为正的常数,L为从点A(2a,0)沿曲线y=2ax−x2到点O(0,0)的弧.
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求I=∫L(exsiny-b(x+y))dx+(excosy-ax)dy,其中a,b为正的常数,L为从点A(2a,0)沿曲线y=
到点O(0,0)的弧.
2ax−x2 |
▼优质解答
答案和解析
添加从点O(0,0)到点A(2a,0)的有向直线段L1,则
I=∫ L+L1(exsiny-b(x+y))dx+(excosy-ax)dy−∫L1(exsiny−b(x+y))dx+(excosy−ax)dy=I1-I2
利用格林公式I1=
(
−
)dxdy=
(b−a)dxdy=
a2(b−a)
而I2的积分有向直线段L1的参数方程为:
,(0≤x≤2a)
于是I2=
(−bx)dx=−2a2b
∴I=I1−I2=(
+2)a2b−
a3
I=∫ L+L1(exsiny-b(x+y))dx+(excosy-ax)dy−∫L1(exsiny−b(x+y))dx+(excosy−ax)dy=I1-I2
利用格林公式I1=
∫∫ |
D |
∂Q |
∂x |
∂P |
∂y |
∫∫ |
D |
π |
2 |
而I2的积分有向直线段L1的参数方程为:
|
于是I2=
∫ | 2a 0 |
∴I=I1−I2=(
π |
2 |
π |
2 |
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