求（Cn0）^2+（Cn1）^2+（Cn2）^2+~~~~+（Cnn）^2的和.

Question

求（Cn0）^2+（Cn1）^2+（Cn2）^2+~~~~+（Cnn）^2的和.

Answer 1

利用（1+x）n（1+x）n=（1+x）2n,两边分别用二项式定理,通过xn的系数相等得证．
证明：由（1+x）n（1+x）n=（1+x）2n,两边展开得：
（Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnm-1xn-1+Cnnxn）?（Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnn-1xn-1+Cnnxn）=C2n0+C2n1x+C2n2x2+…+C2n2nx2n
比较等式两边xn的系数,它们应当相等,所以有：
Cn0?Cnn+Cn1?Cnn-1+Cn2?Cnn-2+…+Cnn?Cn0=C2nn
由Cnr=Cnn-r,
得（Cn0）2+（Cn1）2+（Cn2）2+…+（Cnn）2=C2nn=（2n）!／（n!*n!）