（2013•南开区二模）如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．（1）求证：BD1∥平面A1DE（2）求证：D1E⊥A1D；（3）求点B到平面A1DE的距离．

Question

（2013•南开区二模）如图所示，正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．
（1）求证：BD₁∥平面A₁DE
（2）求证：D₁E⊥A₁D；
（3）求点B到平面A₁DE的距离．

Answer 1

（1）证明：∵正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点，设O为AD₁的中点，
则由三角形的中位线性质可得OE∥BD₁．
由于OE⊂平面A₁DE，BD₁不在平面A₁DE内，故BD₁∥平面A₁DE．
（2）证明：由题意可得D₁A 是D₁E在平面AA₁D₁D内的射影，由正方形的性质可得D₁A⊥A₁D，
由三垂线定理可得D₁E⊥A₁D．
 （3）设点B到平面A₁DE的距离为h，由于线段AB和平面A₁DE交于点E，且E为AB的中点，
故A、B两点到平面A₁DE的距离相等，即求点A到平面A₁DE的距离h．
由于S△A1DE=(1)/(2)×√(2×)×√(2)×sin60°=(√(3))/(2)，S△A DE=(1)/(2)×1×1=(1)/(2)，
∵VA−A1DE=VA1−ADE，
∴(1)/(3)•S△A1DE•h=(1)/(3)•S △A DE•A1A，即 (1)/(3)×(√(3))/(2)×h=(1)/(3)×(1)/(2)×1，解得 h=(√(3))/(3)．