如图，E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A′EF的位置，连接A′B、A′C．（Ⅰ）求证：平面A′EC⊥平面A′BC；（Ⅱ）求证：AA′⊥平面A′BC；（Ⅲ）过EF作

Question

如图，E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A′EF的位置，连接A′B、A′C．
（Ⅰ）求证：平面A′EC⊥平面A′BC；
（Ⅱ）求证：AA′⊥平面A′BC；
（Ⅲ）过EF作一平面EFPQ同时与直线AA′、BC平行设交A′B、A′C分别于P、Q两点，试指出P、Q的位置，并求截面EFPQ分四面体A′ABC的两部分的体积比：V_A'AEFPQ：V_PQEFBC．

Answer 1

（Ⅰ）∵AC是直角△ABC的直角边E、F分别是AC、AB中点
∴EF∥BC∵BC⊥AC∴EF⊥AC∵EF⊥A′E
∴BC⊥A′E∵A′E∩AC=E
A′E、AC⊂平面A'EC
∴BC⊥平面A′EC又∵BC⊂平面A′BC
∴平面A′EC⊥平面A′BC （5分）；

（Ⅱ）∵BC⊥平面A′ECAA′⊂平面A′
EC∴BC⊥AA′
又∵EA=EC=EA′∴∠AA′C=90°
∴AA′⊥C∵BC∩A′C=C，BC、A′C⊂平面A′BC
∴AA′⊥平面A′BC10′

（Ⅲ）取AB、A′C的中点P、Q，∴PQ₌^∥(1)/(2)BC，∵EF₌^∥(1)/(2)BC
∴EF₌^∥PQ∴E、F、P、Q四点共面，易知平面EFPQ
同时与AA′、BC平行．取BC的中点R连PR、FR
设S_△BRF=S，P到平面ABC的距离为h，
∴VBFEQC＝(1)/(3)Sh+Sh＝(4)/(3)ShVA′−ABC＝(8sh)/(3)
∴V_A'AEFPQ：V_PQEFBC=1：1． （15分）