如图，在△ABC中，I是内心，O是AB边上一点，O经过B点且与AI相切于I点．（1）求证：AB=AC；（2）若BC=16，O的半径是5，求AI的长．

Question

如图，在△ABC中，I是内心，O是AB边上一点， O经过B点且与AI相切于I点． 

（1）求证：AB=AC；
（2）若BC=16， O的半径是5，求AI的长．

Answer 1

（1）延长AI交BC于D，连结OI，作BH⊥AC于H，如图，
∵I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，即∠OBI=∠DBI，
∵OB=OI，
∴∠OBI=∠OIB，
∴∠DBI=∠OIB，
∴OI∥BD，
∵AI为 O的切线，
∴OI⊥AI，
∴BD⊥AD，
∵AI平分∠BAC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴AB=AC；

（2）∵OI∥BC，
∴△AOI∽△ABD，
∴(AO)/(AB)=(OI)/(BD)=(AI)/(AD)，
∴(AB-5)/(AB)=(5)/(8)，
∴AB=(40)/(3)，
∴AD=√(AB2-BD2)=(32)/(3)，
∴AI=(OI)/(BD)•AD=(5)/(8)×(32)/(3)=(20)/(3)．