如图，多面体ABCDE中，ABCD是矩形，AB=22，BC=2，直线DA⊥平面ABE，AE=BE，O为棱AB的中点．（1）求证：直线BD⊥平面OCE；（2）在线段BD上是否存在点F，使直线AF∥平面OCE？若存在，求线段DF的长，

Question

如图，多面体ABCDE中，ABCD是矩形，AB=2√(2)，BC=2，直线DA⊥平面ABE，AE=BE，O为棱AB的中点．

（1）求证：直线BD⊥平面OCE；
（2）在线段BD上是否存在点F，使直线AF∥平面OCE？若存在，求线段DF的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（本题满分为12分）
（1）证明：
∵AD⊥平面ABE，OE⊂平面ABE，
∴AD⊥OE；
∵AE=BE，AO=BO，
∴AB⊥OE，又AB∩AD=A，
∴OE⊥平面ABCD，于是OE⊥BD；
∵(BC)/(OB)=(AB)/(AD)=√(2)，
∴∠COB=∠ADB，
而∠ADB+∠ABD=90°，
则∠COB+∠ABD=90°，于是∠OMB=90°，即BD⊥OC；
又OE∩OC=O，故直线BD⊥平面OCE．…（6分）
（2）在线段BD上存在点F，使直线AF∥平面OCE．
过A作AF⊥BD，垂足F，由（Ⅰ）知AF∥OC，OC⊂平面OCE，AF⊄平面OCE，可得直线AF∥平面OCE．
Rt△DAB内，由勾股定理知BD=2√(3)，另有cos∠ADB=(DA)/(DB)=(2)/(2√(3))=(√(3))/(3)，
Rt△DAF内，DF=DAcos∠ADB=(2√(3))/(3)．…（12分）