如图，在△ABC中，AC=BC，AB是⊙C的切线，切点为D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF=12AC．（1）求∠ACB的度数；（2）若AC=8，求△ABF的面积．

Question

如图，在△ABC中，AC=BC，AB是⊙C的切线，切点为D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF=(1)/(2)AC．

（1）求∠ACB的度数；
（2）若AC=8，求△ABF的面积．

Answer 1

（1）连接CD，

∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∵CF=(1)/(2)AC，CF=CE，
∴AE=CE，
∴ED=(1)/(2)AC=EC，
∴ED=EC=CD，
∴∠ECD=60°，
∴∠A=30°，
∵AC=BC，
∴∠ACB=120°．
（2）∵∠A=30°，AC=BC，
∴∠ABC=30°，
∴∠BCF=60°，
在△ACD与△BCF中

AC＝BC

∠ACD＝∠BCF＝60°

CD＝CF

∴△ACD≌△BCF（SAS）
∴∠ADC=∠BFC，
∵CD⊥AB，
∴CF⊥BF，
∵AC=8，CF=(1)/(2)AC．
∴CF=4，
∴AF=12，
∵∠AFB=90°，∠A=30°，
∴BF=(1)/(2)AB，
设BF=x，则AB=2x，
∵AF²+BF²=AB²，
∴（2x）²-x²=12²
解得：x=4√(3)
即BF=4√(3)
∴△ABF的面积=(1)/(2)AF•BF=(1)/(2)×12×4√(3)=24√(3)，