如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．

Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．

（1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．

Answer 1

（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，
∴MN∥AD，MN=(1)/(2)AD，
在RT△ABC中，∵M是AC中点，
∴BM=(1)/(2)AC，
∵AC=AD，
∴MN=BM．
（2） ∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
由（1）可知，BM=(1)/(2)AC=AM=MC，
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，
∵MN∥AD，
∴∠NMC=∠DAC=30°，
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，
∴BN²=BM²+MN²，
由（1）可知MN=BM=(1)/(2)AC=1，
∴BN=√(2)