如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=23，∠DAC=30°，求AC的长．

Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．

（1）求证：AB=AC；
（2）若AD=2√(3)，∠DAC=30°，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在RT△DEB和RT△DFC中，

BD=DC

DE=DF

，
∴△DEB≌△DFC，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
（2）∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2√(3)，∠DAC=30°，
∴AC=2CD，设CD=a，则AC=2a，
∵AC²=AD²+CD²，
∴4a²=a²+（2√(3)）²，
∵a>0，
∴a=2，
∴AC=2a=4．